3 Semana 3 — Fundamentos de la Teoría de la Probabilidad

3.1 Introducción

La probabilidad es el fundamento del razonamiento estadístico. Esta semana cubriremos los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad: experimentos aleatorios, espacios muestrales, eventos, y las herramientas matemáticas para cuantificar la incertidumbre. Aprenderemos los axiomas de Kolmogorov, el Teorema de Bayes, y cómo actualizar nuestras creencias con nueva información.

3.2 Experimentos Aleatorios y Eventos

3.2.1 Experimento Aleatorio

Definición: Experimento Aleatorio

Un experimento aleatorio es un proceso que:

Puede repetirse bajo condiciones idénticas
Tiene al menos dos resultados posibles diferentes
Se realiza de una manera claramente especificada
Tiene un resultado que no puede predecirse con certeza antes de realizarse

El espacio muestral \(\Omega\) (o \(S\)) es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento.

Un evento \(A\) es un subconjunto del espacio muestral. Decimos que un evento “ocurre” si el resultado del experimento es un elemento de \(A\).

Ejemplo 3.1: Aleatorización en Ensayo Clínico

Experimento: Aleatorización de un paciente a un grupo de tratamiento (\(T\)) o control (\(C\)) mediante el lanzamiento de una moneda.

Espacio muestral: \[\Omega = \{T, C\}\]

Eventos posibles: - Evento \(A\): “el paciente es asignado al grupo de tratamiento” → \(A = \{T\}\) - Evento \(B\): “el paciente es asignado al grupo control” → \(B = \{C\}\)

3.2.2 Evento Elemental y Partición

Definición: Evento Elemental

Un evento elemental es un evento que contiene exactamente un resultado del experimento. Por ejemplo, \(\{2\}\) es un evento elemental en el experimento de lanzar un dado.

Definición: Partición Completa

Los eventos \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) forman una partición completa del espacio muestral \(\Omega\) si:

\(A_i \cap A_j = \emptyset\) para todo \(i \neq j\) (son mutuamente disjuntos)
\(A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n = \Omega\) (cubren todo el espacio)
\(\mathbb{P}(A_i) > 0\) para cada \(i\) (cada uno tiene probabilidad positiva)

3.3 Álgebra de Conjuntos

Los eventos se pueden combinar usando operaciones de conjuntos. A continuación presentamos las operaciones fundamentales:

Operaciones Básicas de Conjuntos

Conjunto vacío: \(\emptyset\) es el conjunto sin elementos. En términos de eventos, \(A = \emptyset\) significa que el evento es imposible.

Subconjunto: \(A \subseteq B\) significa que cada elemento de \(A\) está también en \(B\). En términos de eventos: “si \(A\) ocurre, entonces \(B\) ocurre”.

Intersección: \(A \cap B\) es el conjunto de elementos que están en ambos \(A\) y \(B\). En términos de eventos: “tanto \(A\) como \(B\) ocurren”.

Unión: \(A \cup B\) es el conjunto de elementos que están en \(A\) o en \(B\) (o en ambos). En términos de eventos: “al menos uno de \(A\) o \(B\) ocurre”.

Complemento: \(\overline{A}\) (o \(A^c\)) es el conjunto de elementos en \(\Omega\) que no están en \(A\). En términos de eventos: “\(A\) no ocurre”.

Diferencia: \(A - B\) (o \(A - B\)) es el conjunto de elementos en \(A\) pero no en \(B\). En términos de eventos: “\(A\) ocurre pero \(B\) no ocurre”.

3.3.1 Relaciones y Operaciones de Eventos

La siguiente tabla resume las correspondencias entre descripciones de eventos y notación de conjuntos:

Descripción	Notación	Significado
\(A\) ocurre con certeza	\(A = \Omega\)	evento seguro
\(A\) es imposible	\(A = \emptyset\)	evento imposible
Si \(A\) ocurre, entonces \(B\) ocurre	\(A \subseteq B\)	\(A\) es subconjunto de \(B\)
\(A\) y \(B\) nunca ocurren juntos	\(A \cap B = \emptyset\)	eventos disjuntos
\(A\) y \(B\) son complementarios	\(B = \overline{A}\)	\(B\) ocurre si y solo si \(A\) no ocurre
Al menos uno de los \(A_i\) ocurre	\(A = \bigcup_{i} A_i\)	unión de eventos
Todos los \(A_i\) ocurren	\(A = \bigcap_{i} A_i\)	intersección de eventos

3.3.2 Diagramas de Venn

Los diagramas de Venn proporcionan representaciones visuales de operaciones entre conjuntos. A continuación se muestran las operaciones fundamentales:

3.3.3 Leyes de De Morgan

Las Leyes de De Morgan son reglas fundamentales que relacionan la unión, la intersección y el complemento de conjuntos. Son extremadamente útiles para simplificar expresiones probabilísticas complejas.

Leyes de De Morgan

Para cualquier par de eventos \(A\) y \(B\):

Complemento de la unión: El complemento de la unión de dos conjuntos es la intersección de sus complementos. \[\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\] Significado: “Ni A ni B ocurren” es lo mismo que “A no ocurre Y B no ocurre”.
Complemento de la intersección: El complemento de la intersección de dos conjuntos es la unión de sus complementos. \[\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\] Significado: “No ocurre que ambos A y B ocurran” es lo mismo que “A no ocurre O B no ocurre”.

Ejemplo 3.2: Visualización de De Morgan

Representación de \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\):

Ejemplo 3.3: Aplicación Práctica con 3 Conjuntos

En estudios epidemiológicos es común analizar la comorbilidad de tres condiciones (A, B, C). Un diagrama de Venn de 3 conjuntos permite visualizar todas las posibles intersecciones:

Problema: En una muestra de 100 pacientes:

40 tienen Hipertensión (A)
30 tienen Diabetes (B)
20 tienen Obesidad (C)
10 tienen A y B
8 tienen A y C
5 tienen B y C
3 tienen las tres condiciones

¿Cuántos pacientes tienen al menos una condición? Usando el principio de Inclusión-Exclusión: \(|A \cup B \cup C| = 40 + 30 + 20 - (10 + 8 + 5) + 3 = 90 - 23 + 3 = 70 \text{ pacientes}.\)

3.4 Definiciones de Probabilidad

Existen varias formas de formalizar el concepto de probabilidad, cada una reflejando una filosofía diferente sobre cómo interpretamos la “probabilidad”.

3.4.1 Probabilidad Clásica (Laplace)

Definición: Probabilidad Clásica de Laplace

La probabilidad clásica se define como:

\[\mathbb{P}(A) = \frac{\text{Número de resultados favorables a } A}{\text{Número total de resultados posibles}} = \frac{|A|}{|\Omega|}\]

Supuestos: - Hay al menos dos resultados elementales posibles - Exactamente uno de los resultados posibles ocurre en cada experimento - El número de resultados elementales es finito - Cada resultado elemental ocurre con la misma probabilidad (equiprobabilidad)

Ejemplo 3.4: Moneda justa en Aleatorización

Experimento: Lanzar una moneda para decidir el grupo de tratamiento de un paciente.

Evento \(A\): “el paciente es asignado al grupo de tratamiento (\(T\))”

Resultados favorables a \(A\): \(\{T\}\) → 1 resultado

Resultados totales: \(\{T, C\}\) → 2 resultados

\[\mathbb{P}(A) = \frac{1}{2} = 0.5\]

3.4.2 Probabilidad Frecuentista (von Mises)

Definición: Probabilidad Frecuentista

Sea \(n\) el número de repeticiones de un experimento y \(f_n(A)\) el número de veces que ocurre el evento \(A\). La frecuencia relativa es:

\[\text{Frecuencia relativa} = \frac{f_n(A)}{n}\]

La probabilidad frecuentista de \(A\) se define como el límite de la frecuencia relativa cuando \(n \to \infty\):

\[\mathbb{P}(A) = \lim_{n \to \infty} \frac{f_n(A)}{n}\]

Esta definición requiere:

Una secuencia de muestras independientes
Bajo condiciones idénticas
Repetibles arbitrariamente

Ejemplo 3.5: Simulación de aleatorización

Simulamos asignar \(n\) pacientes a un grupo de tratamiento:

Cuadro 3.1: Código R

Mostrar el código

set.seed(123)

n <- 10
asignacion <- rbinom(n, size = 1, prob = 0.5)
prop_10 <- sum(asignacion) / n
cat("n =", n, ": proporción asignada a tratamiento =", prop_10, "\n")

n = 10 : proporción asignada a tratamiento = 0.6

Cuadro 3.2: Código R

Mostrar el código

n <- 100
asignacion <- rbinom(n, size = 1, prob = 0.5)
prop_100 <- sum(asignacion) / n
cat("n =", n, ": proporción asignada a tratamiento =", prop_100, "\n")

n = 100 : proporción asignada a tratamiento = 0.46

Cuadro 3.3: Código R

Mostrar el código

n <- 1000
asignacion <- rbinom(n, size = 1, prob = 0.5)
prop_1000 <- sum(asignacion) / n
cat("n =", n, ": proporción asignada a tratamiento =", prop_1000, "\n")

n = 1000 : proporción asignada a tratamiento = 0.497

Interpretación

La simulación ilustra la Ley de los Grandes Números: conforme incrementamos el tamaño muestral de 10 a 1,000 pacientes, la proporción observada de asignados al tratamiento converge hacia la probabilidad teórica de 0.5. Con apenas 10 pacientes observamos fluctuaciones notables (prop_10 = 0.60), con 100 ya se acerca al valor esperado (prop_100 = 0.46), y con 1,000 pacientes la proporción se estabiliza muy cerca de 0.5 (prop_1000 = 0.497). Esto demuestra empíricamente por qué los estudios clínicos requieren tamaños muestrales adecuados: garantizan que la frecuencia relativa refleje la probabilidad verdadera subyacente en la aleatorización.

A medida que \(n\) aumenta, la proporción de pacientes en el grupo de tratamiento se acerca a 0.5.

3.4.3 Probabilidad Axiomática (Kolmogorov)

Definición: Axiomas de Kolmogorov

Una función \(\mathbb{P}: \mathcal{F} \to [0,1]\) que asigna un número a cada evento en \(\Omega\) es una medida de probabilidad si satisface los siguientes axiomas:

Axioma 1 (No negatividad): \[\mathbb{P}(A) \geq 0 \text{ para todo evento } A\]

Axioma 2 (Normalización): \[\mathbb{P}(\Omega) = 1\]

Axioma 3 (Aditividad contable): Si \(A_1, A_2, A_3, \ldots\) son eventos mutuamente disjuntos (es decir, \(A_i \cap A_j = \emptyset\) para \(i \neq j\)), entonces:

\[\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_i)\]

Componentes de un espacio de probabilidad: 1. Un espacio muestral \(\Omega\) (el conjunto de todos los resultados posibles) 2. Una \(\sigma\)-álgebra \(\mathcal{F}\) (una colección de eventos) 3. Una medida de probabilidad \(\mathbb{P}\) (que satisface los axiomas anteriores)

La definición axiomática de Kolmogorov es la más general y es la base de toda la teoría moderna de la probabilidad.

3.5 Propiedades de la Probabilidad

De los axiomas de Kolmogorov se derivan varias propiedades útiles:

Teorema: Propiedades Fundamentales de la Probabilidad

Sea \(A, B, A_1, A_2, \ldots\) eventos en un espacio de probabilidad. Entonces:

Propiedad 1: Probabilidad del complemento

\[\mathbb{P}(\overline{A}) = 1 - \mathbb{P}(A)\]

Prueba: Note que \(A \cup \overline{A} = \Omega\) y \(A \cap \overline{A} = \emptyset\). Por el Axioma 3:

\[\mathbb{P}(\Omega) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(\overline{A}) = 1\]

Propiedad 2: Probabilidad del conjunto vacío

\[\mathbb{P}(\emptyset) = 0\]

Prueba: \(\emptyset = \overline{\Omega}\), así que \(\mathbb{P}(\emptyset) = 1 - \mathbb{P}(\Omega) = 1 - 1 = 0\).

Propiedad 3: Monotonía

Si \(A \subseteq B\), entonces \(\mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(B)\)

Prueba: Si \(A \subseteq B\), entonces \(B = A \cup (B - A)\) donde \(A\) y \(B - A\) son disjuntos. Por el Axioma 3:

\[\mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B - A) \geq \mathbb{P}(A)\]

Propiedad 4: Acotamiento

\[0 \leq \mathbb{P}(A) \leq 1\]

Se sigue de los Axiomas 1 y 2.

Propiedad 5: Regla de la suma (Inclusión-Exclusión)

\[\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)\]

Prueba: Observe que \(A \cup B = A \cup (B - A)\) donde estos son disjuntos, y \(B = (A \cap B) \cup (B - A)\).

Propiedad 6: Aditividad para eventos disjuntos

Si \(A \cap B = \emptyset\), entonces:

\[\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)\]

Ejemplo 3.6: Aplicación de propiedades

Problema: En una consulta médica, el 30% de los pacientes tienen hipertensión (\(H\)). Entre los pacientes hipertensos, el 80% también presenta obesidad. ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente NO tenga hipertensión?

Solución: Sea \(H\) = “tener hipertensión”. Entonces \(\mathbb{P}(H) = 0.30\).

Por la Propiedad 1: \[\mathbb{P}(\text{sin hipertensión}) = \mathbb{P}(\overline{H}) = 1 - 0.30 = 0.70\]

3.6 Teorema de la Suma (Inclusión-Exclusión)

Teorema: Regla de la Suma (Inclusión-Exclusión)

Para dos eventos arbitrarios \(A\) y \(B\):

\[\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)\]

Para tres eventos \(A\), \(B\), y \(C\):

\[\mathbb{P}(A \cup B \cup C) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(C)\]

\[- \mathbb{P}(A \cap B) - \mathbb{P}(A \cap C) - \mathbb{P}(B \cap C)\]

\[+ \mathbb{P}(A \cap B \cap C)\]

Ejemplo 3.7: Comorbilidad de pacientes

Problema: En una muestra de 52 pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que un paciente tenga Hipertensión (A) O Diabetes (B)?

Definición de eventos: - \(A\) = “paciente con Hipertensión” → 4 pacientes - \(B\) = “paciente con Diabetes” → 13 pacientes - \(A \cap B\) = “paciente con ambas enfermedades” → 1 paciente

Cálculo de probabilidades individuales: \[\mathbb{P}(A) = \frac{4}{52}, \quad \mathbb{P}(B) = \frac{13}{52}, \quad \mathbb{P}(A \cap B) = \frac{1}{52}\]

Aplicación del Teorema de la Suma: \[\mathbb{P}(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} \approx 0.308\]

3.7 Probabilidad Condicional

La probabilidad condicional permite actualizar nuestras creencias sobre un evento cuando tenemos información adicional.

Definición: Probabilidad Condicional

Dados dos eventos \(A\) y \(B\) con \(\mathbb{P}(B) > 0\), la probabilidad condicional de \(A\) dado que \(B\) ha ocurrido es:

\[\mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}\]

Interpretación: Es la probabilidad de que ocurra \(A\) cuando ya sabemos que \(B\) ocurrió. Formalmente, es la fracción de casos en que \(B\) ocurre que también incluyen la ocurrencia de \(A\).

Ejemplo 3.8: Probabilidad condicional en aleatorización

Experimento: Asignación de dos pacientes consecutivos a grupos de tratamiento.

Eventos: - \(A\) = “el segundo paciente es asignado al grupo de tratamiento (\(T_2\))” - \(B\) = “el primer paciente fue asignado al grupo de tratamiento (\(T_1\))”

Cálculo: Si la asignación es aleatoria e independiente, \(\mathbb{P}(T_1) = 0.5\), \(\mathbb{P}(T_2) = 0.5\). La probabilidad condicional \(\mathbb{P}(T_2|T_1) = \mathbb{P}(T_2) = 0.5\) (por independencia).

3.7.1 Teorema de la Multiplicación

Teorema: Regla de la Multiplicación

Para dos eventos \(A\) y \(B\):

\[\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B|A) = \mathbb{P}(B) \cdot \mathbb{P}(A|B)\]

Para tres eventos \(A_1, A_2, A_3\):

\[\mathbb{P}(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = \mathbb{P}(A_1) \cdot \mathbb{P}(A_2|A_1) \cdot \mathbb{P}(A_3|A_1 \cap A_2)\]

Para \(n\) eventos:

\[\mathbb{P}(A_1 \cap \ldots \cap A_n) = \mathbb{P}(A_1) \cdot \mathbb{P}(A_2|A_1) \cdot \mathbb{P}(A_3|A_1 \cap A_2) \cdots \mathbb{P}(A_n|A_1 \cap \ldots \cap A_{n-1})\]

3.8 Independencia de Eventos

Definición: Independencia de Eventos

Dos eventos \(A\) y \(B\) son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad del otro:

\[\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B)\]

Equivalentemente: \[\mathbb{P}(A|B) = \mathbb{P}(A) \quad \text{(si } \mathbb{P}(B) > 0\text{)}\] \[\mathbb{P}(B|A) = \mathbb{P}(B) \quad \text{(si } \mathbb{P}(A) > 0\text{)}\]

Nota importante: Independencia es diferente de “disjuntos” (mutuamente excluyentes). Dos eventos disjuntos tienen \(\mathbb{P}(A \cap B) = 0\), lo cual es diferente de independencia.

Ejemplo 3.9: Aleatorización independiente

Experimento: Asignar dos pacientes consecutivos al grupo de tratamiento (\(T\)) o control (\(C\)).

Eventos: - \(A\) = “primer paciente asignado al grupo \(T\)” - \(B\) = “segundo paciente asignado al grupo \(T\)”

Análisis: \[\mathbb{P}(A) = 0.5, \quad \mathbb{P}(B) = 0.5\] \[\mathbb{P}(A \cap B) = 0.25\]

Verificación de independencia: \[\mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B) = 0.5 \times 0.5 = 0.25 = \mathbb{P}(A \cap B)\]

Por lo tanto, \(A\) y \(B\) son independientes.

3.8.1 Independencia de Múltiples Eventos

Definición: Independencia Mutua

Los eventos \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) son mutuamente independientes si para cualquier subconjunto \(\{i_1, i_2, \ldots, i_k\}\) de índices:

\[\mathbb{P}(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \ldots \cap A_{i_k}) = \mathbb{P}(A_{i_1}) \cdot \mathbb{P}(A_{i_2}) \cdots \mathbb{P}(A_{i_k})\]

Esta condición debe cumplirse para todo subconjunto posible, no solo para pares de eventos.

3.9 Ley de la Probabilidad Total

Teorema: Ley de la Probabilidad Total

Sea \(\{A_1, A_2, \ldots, A_n\}\) una partición completa del espacio muestral \(\Omega\). Entonces, para cualquier evento \(B\):

\[\mathbb{P}(B) = \sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(B|A_i) \cdot \mathbb{P}(A_i)\]

Interpretación: La probabilidad de \(B\) se puede calcular como una suma ponderada de las probabilidades condicionales de \(B\) bajo cada posibilidad en la partición, ponderadas por las probabilidades de cada parte.

Ejemplo 3.10: Diagnóstico de una enfermedad (Ley de Probabilidad Total)

Escenario: Una enfermedad se distribuye en una población según tres grupos de riesgo:

Grupo 1 (Bajo riesgo): 60% de la población, tasa de enfermedad = 2%
Grupo 2 (Riesgo moderado): 30% de la población, tasa de enfermedad = 10%
Grupo 3 (Alto riesgo): 10% de la población, tasa de enfermedad = 25%

Probabilidades a priori: - \(\mathbb{P}(A_1) = 0.60\) - \(\mathbb{P}(A_2) = 0.30\) - \(\mathbb{P}(A_3) = 0.10\)

Probabilidades condicionales de enfermedad (\(B\)): - \(\mathbb{P}(B|A_1) = 0.02\) - \(\mathbb{P}(B|A_2) = 0.10\) - \(\mathbb{P}(B|A_3) = 0.25\)

Aplicación de la Ley de la Probabilidad Total: \[\mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(B|A_1) \cdot \mathbb{P}(A_1) + \mathbb{P}(B|A_2) \cdot \mathbb{P}(A_2) + \mathbb{P}(B|A_3) \cdot \mathbb{P}(A_3)\] \[= 0.02 \times 0.60 + 0.10 \times 0.30 + 0.25 \times 0.10\] \[= 0.012 + 0.03 + 0.025 = 0.067\]

Interpretación: La probabilidad global de padecer la enfermedad en esta población es del 6.7%.

3.10 Teorema de Bayes

El Teorema de Bayes es uno de los resultados más importantes de la teoría de la probabilidad y es fundamental en estadística moderna y aprendizaje automático.

3.10.1 Forma Simple del Teorema de Bayes

Teorema: Teorema de Bayes (Forma Simple)

Para dos eventos \(A\) y \(B\) con \(\mathbb{P}(B) > 0\):

\[\mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(B|A) \cdot \mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)}\]

Terminología: - \(\mathbb{P}(A|B)\) = probabilidad a posteriori (después de observar \(B\))
- \(\mathbb{P}(A)\) = probabilidad a priori (antes de observar \(B\))
- \(\mathbb{P}(B|A)\) = verosimilitud (probabilidad de la evidencia bajo el supuesto)
- \(\mathbb{P}(B)\) = probabilidad marginal de la evidencia

3.10.2 Forma General con Partición

Teorema: Teorema de Bayes (Forma General)

Sea \(\{A_1, A_2, \ldots, A_n\}\) una partición completa del espacio muestral. Para un evento \(B\) con \(\mathbb{P}(B) > 0\):

\[\mathbb{P}(A_j|B) = \frac{\mathbb{P}(B|A_j) \cdot \mathbb{P}(A_j)}{\sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(B|A_i) \cdot \mathbb{P}(A_i)}\]

para cada \(j = 1, 2, \ldots, n\).

3.10.3 Ejemplo: Prueba Diagnóstica

Ejemplo 3.11: Prueba diagnóstica médica

Escenario: Un test de diagnóstico para una enfermedad con:

Prevalencia de la enfermedad: \(\mathbb{P}(E) = 0.05\) (5% de la población)
Sensibilidad: \(\mathbb{P}(+|E) = 0.95\) (95% de enfermos dan positivo)
Especificidad: \(\mathbb{P}(-|\overline{E}) = 0.90\) (90% de sanos dan negativo)

Pregunta: Si una persona da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que realmente este enferma?

Solución:

Primero, calculamos \(\mathbb{P}(+) = \mathbb{P}(+|E) \cdot \mathbb{P}(E) + \mathbb{P}(+|\overline{E}) \cdot \mathbb{P}(\overline{E})\)

donde \(\mathbb{P}(+|\overline{E}) = 1 - \mathbb{P}(-|\overline{E}) = 1 - 0.90 = 0.10\)

\[\mathbb{P}(+) = 0.95 \times 0.05 + 0.10 \times 0.95 = 0.0475 + 0.095 = 0.1425\]

Ahora aplicamos el Teorema de Bayes:

\[\mathbb{P}(E|+) = \frac{\mathbb{P}(+|E) \cdot \mathbb{P}(E)}{\mathbb{P}(+)} = \frac{0.95 \times 0.05}{0.1425} = \frac{0.0475}{0.1425} \approx 0.333\]

Interpretación: Aunque el test tiene 95% de sensibilidad, si una persona da positivo, la probabilidad de que realmente esté enferma es solo de aproximadamente 33%. Esto sucede porque la enfermedad es rara (baja prevalencia) y hay muchos falsos positivos.

Cuadro 3.4: Código R

Mostrar el código

prev <- 0.05
sens <- 0.95
spec <- 0.90

falso_pos_rate <- 1 - spec
p_positivo <- sens * prev + falso_pos_rate * (1 - prev)
vpp <- (sens * prev) / p_positivo

cat("Prevalencia:", prev, "\n")

Prevalencia: 0.05

Cuadro 3.5: Código R

Mostrar el código

cat("Sensibilidad:", sens, "\n")

Sensibilidad: 0.95

Cuadro 3.6: Código R

Mostrar el código

cat("Especificidad:", spec, "\n")

Especificidad: 0.9

Cuadro 3.7: Código R

Mostrar el código

cat("P(+):", p_positivo, "\n")

P(+): 0.1425

Cuadro 3.8: Código R

Mostrar el código

cat("Valor Predictivo Positivo (VPP):", round(vpp, 3), "\n")

Valor Predictivo Positivo (VPP): 0.333

Interpretación

Este cálculo implementa el Teorema de Bayes en contexto diagnóstico: aunque la prueba posee 95% de sensibilidad (detecta enfermedad cuando existe), el Valor Predictivo Positivo (VPP ≈ 0.333) es sustancialmente menor debido a la baja prevalencia (5%). Con una enfermedad rara, la mayoría de resultados positivos son falsos positivos. En la consulta clínica, este resultado orienta decisiones: ante test positivo con baja prevalencia, es prudente confirmar con prueba adicional antes de iniciar tratamiento, ilustrando cómo la probabilidad a priori (prevalencia) moldea la interpretación clínica de la evidencia.

:::

3.10.4 Ejemplo: Clasificación de pacientse

Ejemplo 3.12: Clasificación de pacientes (Bayes)

Escenario: Un médico quiere clasificar a un paciente como de alto riesgo o bajo riesgo de sufrir una patología cardíaca basándose en tres factores de riesgo (ej. hipertensión \(W_1\), tabaquismo \(W_2\), obesidad \(W_3\)).

Información disponible: - \(\mathbb{P}(E)\) = probabilidad a priori de tener la patología - \(\mathbb{P}(W_i|E)\) = probabilidad de que el factor \(W_i\) aparezca en pacientes enfermos - \(\mathbb{P}(W_i|\overline{E})\) = probabilidad de que el factor \(W_i\) aparezca en pacientes sanos

Problema: Clasificar a un paciente que presenta los factores \(W_1, W_2, W_3\).

Solución usando Bayes:

Se clasifica como de “Alto Riesgo” si la probabilidad a posteriori es alta: \[\frac{\mathbb{P}(E|W_1 \cap W_2 \cap W_3)}{\mathbb{P}(\overline{E}|W_1 \cap W_2 \cap W_3)} > c\]

donde \(c\) es un umbral clínico.

Asumiendo independencia condicional de los factores:

\[\frac{\mathbb{P}(E|W_1 \cap W_2 \cap W_3)}{\mathbb{P}(\overline{E}|W_1 \cap W_2 \cap W_3)} \approx \frac{\mathbb{P}(E)}{\mathbb{P}(\overline{E})} \cdot \prod_{i=1}^{3} \frac{\mathbb{P}(W_i|E)}{\mathbb{P}(W_i|\overline{E})}\]

Aplicación clínica: - Permite integrar múltiples biomarcadores o factores de riesgo de manera eficiente. - Proporciona una medida de riesgo individualizada (probabilidad a posteriori). - Ayuda en la toma de decisiones clínicas para el cribado o tratamiento preventivo.

3.11 Resumen

3.11.1 Conceptos Clave

Experimento aleatorio: Un proceso con resultado incierto pero repetible
Espacio muestral \(\Omega\): El conjunto de todos los resultados posibles
Evento: Un subconjunto del espacio muestral
Partición: Una división del espacio muestral en eventos mutuamente disjuntos

3.11.2 Definiciones de Probabilidad

Definición	Ventajas	Limitaciones
Clásica (Laplace)	Simple, intuitiva	Requiere equiprobabilidad
Frecuentista (von Mises)	Empírica, práctica	Requiere infinitas repeticiones
Axiomática (Kolmogorov)	General, rigurosa	Abstracta

3.11.3 Fórmulas Importantes

Propiedades básicas: \[\mathbb{P}(\overline{A}) = 1 - \mathbb{P}(A), \quad \mathbb{P}(\emptyset) = 0, \quad \mathbb{P}(\Omega) = 1\]

Regla de la suma: \[\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)\]

Probabilidad condicional: \[\mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}\]

Regla de la multiplicación: \[\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B|A)\]

Independencia: \[\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B) \text{ si y solo si } A \text{ y } B \text{ son independientes}\]

Ley de la probabilidad total: \[\mathbb{P}(B) = \sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(B|A_i) \cdot \mathbb{P}(A_i)\]

Teorema de Bayes: \[\mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(B|A) \cdot \mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)}\]

\[\mathbb{P}(A_j|B) = \frac{\mathbb{P}(B|A_j) \cdot \mathbb{P}(A_j)}{\sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(B|A_i) \cdot \mathbb{P}(A_i)}\]

3.12 Ejercicios

Ejercicio 3.1: Diagramas de Venn

En una clase hay 30 estudiantes de doctorado que asisten a un seminario de Bioestadística avanzada en Medicina. De ellos, 18 se graduaron en Medicina, 15 tienen un grado en Estadística y 10 estudiaron ambos grados. Si se selecciona un estudiante al azar:

¿Cuál es la probabilidad de que se haya graduado en Medicina o tenga un grado en Estadística?
¿Cuál es la probabilidad de que haya estudiado solo Medicina?
¿Cuál es la probabilidad de que no haya estudiado ninguna de las dos?

Ejercicio 3.2: Espacio Muestral y Probabilidad

Un médico tiene dos opciones terapéuticas de antibióticos de primera línea (A o B) y tres de segunda línea (1, 2 o 3), administradas junto con el tratamiento principal, para tratar una enfermedad infecciosa. Todas las opciones terapéuticas son igualmente eficaces y se eligen al azar:

¿Cuál es el espacio muestral?
¿Cuál es la probabilidad de elegir el antibiótico de primera línea A?
¿Cuál es la probabilidad de elegir el antibiótico de primera línea B y el de segunda línea 2?

Ejercicio 3.3: Independencia

En un hospital, la probabilidad de que se produzca un ingreso por fractura de cadera en un día es 0.1. Si se evalúan tres días independientemente:

¿Cuál es la probabilidad de que no se produzca ningún ingreso?
¿Cuál es la probabilidad de que se produzca exactamente un ingreso?

Ejercicio 3.4: Probabilidad Total y Teorema de Bayes

Se sabe que:

El 60% de los pacientes de una consulta son mujeres.
El 40% de las mujeres tienen menos de 30 años.
El 30% de los hombres tienen menos de 30 años.

Si se selecciona un paciente al azar:

¿Cuál es la probabilidad de que tenga menos de 30 años?
Si tiene menos de 30 años, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

Ejercicio 3.5: Test Diagnóstico y Teorema de Bayes

Un test para detectar una enfermedad rara tiene:

98% de sensibilidad (detecta la enfermedad cuando está presente).
95% de especificidad (identifica correctamente a personas sanas).
La enfermedad afecta al 0.5% de la población.

Si una persona da positivo en el test, ¿cuál es la probabilidad de que realmente esté enferma?
Interprete el resultado. ¿Por qué la probabilidad no es más alta?

Ejercicio 3.6: Probabilidad Total y Teorema de Bayes

Una empresa privada vende ecógrafos a hospitales de tres ciudades. La distribución de las ventas es Madrid, 40%; Barcelona, 35%; y Valencia, 25%. La probabilidad de cumplir la cuota de ventas en un mes, condicionada a la ciudad, es:

Madrid: 0.8.
Barcelona: 0.85.
Valencia: 0.7.

Si se selecciona una ciudad según las proporciones de ventas indicadas y un mes al azar:

¿Cuál es la probabilidad de que la ciudad seleccionada cumpla su cuota?
Si cumplió su cuota, ¿cuál es la probabilidad de que la ciudad seleccionada sea Barcelona?

3.13 Respuestas a los Ejercicios

Ejercicio 3.1: Diagramas de Venn

(a) \(P(M\cup E)=(18+15-10)/30=23/30\approx0.767\).
(b) \(P(\text{solo }M)=(18-10)/30=8/30\approx0.267\).
(c) \(P(\text{ninguna})=1-23/30=7/30\approx0.233\).

Ejercicio 3.2: Espacio Muestral y Probabilidad

(a) \(\Omega=\{A1,A2,A3,B1,B2,B3\}\) y \(|\Omega|=6\).
(b) \(P(A)=3/6=0.5\).
(c) \(P(B2)=1/6\approx0.167\).

Ejercicio 3.3: Independencia

(a) \(P(\text{ningún ingreso})=(0.9)^3=0.729\).
(b) \(P(\text{exactamente un ingreso})=\binom{3}{1}(0.1)(0.9)^2=0.243\).

Nota: Más adelante se calculará esta probabilidad mediante la distribución binomial.

Ejercicio 3.4: Probabilidad Total y Teorema de Bayes

(a) \(P(\text{menos de 30})=0.6(0.4)+0.4(0.3)=0.36\).
(b) \(P(\text{mujer}\mid\text{menos de 30})=0.6(0.4)/0.36=2/3\approx0.667\).

Ejercicio 3.5: Test Diagnóstico y Teorema de Bayes

(a) \(P(\text{enfermedad}\mid+)=0.98(0.005)/[0.98(0.005)+0.05(0.995)]\approx0.0897\) (8.97%).
(b) La baja prevalencia hace que los falsos positivos entre las personas sanas sean numerosos en comparación con los verdaderos positivos.

Ejercicio 3.6: Probabilidad Total y Teorema de Bayes

(a) \(P(\text{cuota})=0.4(0.8)+0.35(0.85)+0.25(0.7)=0.7925\).
(b) \(P(\text{Barcelona}\mid\text{cuota})=0.35(0.85)/0.7925\approx0.3754\).

Métodos Avanzados

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→ Bioestadística Avanzada — M.A. Luque Fernández