Apéndice E — Examen Final

Asignatura: Matemáticas para la Estadística Institución: Universidad de Granada Duración: 2 horas 30 minutos Puntuación Total: 125 puntos (seleccionar 4 de 5 partes = 100 puntos, o responder las 5 para nota extra)

E.1 Instrucciones

• Este examen cubre los 5 bloques: Análisis Exploratorio, Probabilidad, Inferencia, Regresión Lineal y Datos Categóricos
• Se permite material de consulta: calculadora, tablas de distribuciones y tablas de la distribución \(\chi^2\)
• No se permite: apuntes, Internet, comunicación con otros estudiantes
• Muestre todo el trabajo y cálculos intermedios
• Las respuestas deben estar claramente identificadas

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E.2 Parte I: Análisis Exploratorio de Datos (25 puntos)

E.2.1 Pregunta 1.1 (12 puntos)

Se recopilaron datos de altura (cm) de 50 estudiantes de primer año:

165, 168, 171, 160, 175, 172, 169, 166, 173, 170, 167, 164, 176, 168, 172,
165, 169, 171, 174, 168, 170, 166, 173, 167, 175, 169, 168, 172, 171, 165,
174, 170, 167, 173, 169, 166, 172, 168, 171, 175, 170, 169, 173, 167, 174,
168, 172, 170, 175, 171

1. Calcule la media, mediana, desviación estándar y rango intercuartílico.
2. Construya una tabla de frecuencias con 5 intervalos de clase.
3. Interprete la distribución (simetría, dispersión).

a) Estadísticos descriptivos: - Media: \(\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} \approx 170.1\) cm - Mediana: \(Q_2 \approx 170\) cm (valor central de los 50 datos ordenados) - Desviación estándar: \(s \approx 3.8\) cm - Rango intercuartílico: \(IQR = Q_3 - Q_1 \approx 173 - 167 = 6\) cm

b) Tabla de frecuencias (5 intervalos, amplitud ≈ 4 cm):

Intervalo	Frecuencia	Frecuencia relativa	Frecuencia acumulada
160-164	3	0.06	0.06
164-168	12	0.24	0.30
168-172	22	0.44	0.74
172-176	13	0.26	1.00

c) Interpretación: La distribución es aproximadamente simétrica, centrada alrededor de 170 cm, con una concentración principal en 168-172 cm (44% de los datos). La dispersión es moderada (s ≈ 3.8 cm). No hay valores atípicos evidentes.

E.2.2 Pregunta 1.2 (13 puntos)

Se estudia la relación entre número de horas de estudio (X) y calificación en examen (Y) de 10 estudiantes:

Horas	2	3	2.5	4	3.5	5	1.5	4.5	3	2
Nota	4	5	4.5	6	5.5	7	3	6.5	5	4

1. Calcule el coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y.
2. Interprete el resultado.
3. ¿Pueden haber valores atípicos?

a) Coeficiente de Pearson:

\[\text{Primero: } \bar{x} = 3.1, \quad \bar{y} = 5.0\]

\[s_x = 1.23, \quad s_y = 1.27\]

\[\text{Covarianza: } \text{Cov}(X,Y) = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n-1} \approx 1.40\]

\[r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{s_x s_y} = \frac{1.40}{1.23 \times 1.27} \approx 0.90\]

b) Interpretación: Existe una correlación positiva muy fuerte (r ≈ 0.90) entre horas de estudio y nota del examen. A mayor número de horas, mayor calificación. Aproximadamente 81% (r²) de la variación en notas se explica por las horas de estudio.

c) Valores atípicos: La relación es lineal sin desvíos aparentes. No hay evidencia de outliers en los datos.

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E.3 Parte II: Probabilidad y Variables Aleatorias (25 puntos)

E.3.1 Pregunta 2.1 (12 puntos)

Un examen tiene 20 preguntas de verdadero/falso. Un estudiante responde al azar (50% de probabilidad de acierto).

1. ¿Cuál es la probabilidad de acertar exactamente 12 preguntas?
2. ¿Cuál es la probabilidad de acertar 15 o más preguntas?
3. ¿Cuál es el número esperado de aciertos y su desviación estándar?

Sea \(X \sim \text{Binomial}(n=20, p=0.5)\)

a) P(X = 12):

\[P(X = 12) = \binom{20}{12} (0.5)^{12}(0.5)^{8} = \binom{20}{12} (0.5)^{20}\]

\[= 125970 \times (0.5)^{20} \approx 0.1201\]

b) P(X ≥ 15):

\[P(X \geq 15) = \sum_{k=15}^{20} \binom{20}{k}(0.5)^{20}\]

Por tabla o software: \(P(X \geq 15) \approx 0.0207\)

c) Esperanza y desviación:

\[E[X] = np = 20 \times 0.5 = 10\]

\[\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{20 \times 0.5 \times 0.5} = \sqrt{5} \approx 2.24\]

E.3.2 Pregunta 2.2 (13 puntos)

El tiempo de atención en una consulta médica sigue distribución normal con media 15 minutos y desviación estándar 3 minutos.

1. ¿Qué porcentaje de consultas duran más de 20 minutos?
2. ¿Cuál es el percentil 90 del tiempo de consulta?
3. Si se observan 100 consultas, ¿cuántas esperamos que duren entre 12 y 18 minutos?

Sea \(X \sim \mathcal{N}(\mu=15, \sigma=3)\)

a) P(X > 20):

\[Z = \frac{20 - 15}{3} = 1.67\]

\[P(X > 20) = P(Z > 1.67) \approx 0.0475 \text{ o } 4.75\%\]

b) Percentil 90:

Necesitamos \(z_{0.90} \approx 1.28\) (de tabla normal estándar)

\[x_{90} = 15 + 1.28 \times 3 = 15 + 3.84 = 18.84 \text{ minutos}\]

c) Número de consultas en [12, 18]:

\[Z_1 = \frac{12-15}{3} = -1 \quad Z_2 = \frac{18-15}{3} = 1\]

\[P(12 < X < 18) = P(-1 < Z < 1) \approx 0.6826 \text{ o } 68.26\%\]

Esperadas: \(100 \times 0.6826 \approx 68\) consultas

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E.4 Parte III: Inferencia Estadística (25 puntos)

E.4.1 Pregunta 3.1 (12 puntos)

Se realizó un estudio de presión arterial sistólica en una muestra de 40 pacientes hipertensos. La media muestral fue 145 mmHg y la desviación estándar muestral 12 mmHg. Asuma distribución normal.

1. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional.
2. Interprete el intervalo.
3. ¿Cuál sería el tamaño muestral necesario para un margen de error de 3 mmHg?

a) Intervalo de confianza 95%:

Con \(n=40\), \(\bar{x}=145\), \(s=12\), \(\alpha=0.05\):

Grados de libertad: \(df = 39\)

\(t_{0.025, 39} \approx 2.023\) (de tabla t)

Margen de error: \(E = t_{\alpha/2} \times \frac{s}{\sqrt{n}} = 2.023 \times \frac{12}{\sqrt{40}} = 2.023 \times 1.897 \approx 3.84\)

\[IC_{95\%} = [145 - 3.84, 145 + 3.84] = [141.16, 148.84] \text{ mmHg}\]

b) Interpretación: Con 95% de confianza, la presión arterial sistólica media poblacional se encuentra entre 141.16 y 148.84 mmHg. Si repitiéramos el estudio muchas veces, el 95% de los intervalos construidos contendrían el parámetro verdadero.

c) Tamaño muestral para E = 3:

\[n = \left(\frac{t_{\alpha/2} \times s}{E}\right)^2 = \left(\frac{2.023 \times 12}{3}\right)^2 \approx \left(\frac{24.276}{3}\right)^2 \approx 65.4\]

Se necesitan aproximadamente n = 66 pacientes.

E.4.2 Pregunta 3.2 (13 puntos)

Un laboratorio afirma que el 90% de sus pruebas de COVID tienen sensibilidad ≥ 95%. Para verificar, se prueban 50 muestras positivas y se detectan correctamente 47.

1. Plantee las hipótesis nula y alternativa.
2. Calcule el estadístico de prueba y el p-valor.
3. ¿Rechaza la afirmación del laboratorio al nivel α = 0.05?

a) Hipótesis:

• \(H_0: p = 0.95\) (la sensibilidad es del 95%)
• \(H_A: p < 0.95\) (la sensibilidad es menor al 95%, test unilateral)

b) Estadístico de prueba:

Proporción muestral: \(\hat{p} = \frac{47}{50} = 0.94\)

Error estándar bajo \(H_0\): \(SE = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.95 \times 0.05}{50}} \approx 0.0308\)

\[z = \frac{\hat{p} - p_0}{SE} = \frac{0.94 - 0.95}{0.0308} \approx -0.325\]

p-valor (unilateral): \(P(Z < -0.325) \approx 0.372\)

c) Conclusión: Con p-valor = 0.372 > α = 0.05, no rechazamos \(H_0\). No hay evidencia suficiente para rechazar la afirmación del laboratorio de que la sensibilidad es del 95%.

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E.5 Parte IV: Regresión Lineal (25 puntos)

E.5.1 Pregunta 4.1 (25 puntos)

Se estudia la relación entre precio de venta (Y, en miles €) y tamaño de la vivienda (X, en m²) en 8 pisos vendidos:

Tamaño (m²)	80	100	90	120	110	95	85	130
Precio (k€)	150	185	170	210	200	180	165	230

1. Estime el modelo de regresión lineal simple \(Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon\)
2. Interprete los coeficientes
3. Calcule R² e interprete la calidad del ajuste
4. Prediga el precio para una vivienda de 105 m²

a) Estimación del modelo:

Primero calculamos estadísticos:

• \(\bar{x} = 102.5\), \(\bar{y} = 186.25\)
• \(S_{xx} = \sum(x_i - \bar{x})^2 = 1512.5\)
• \(S_{xy} = \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 3057.5\)
• \(S_{yy} = \sum(y_i - \bar{y})^2 = 6337.5\)

Coeficiente de regresión: \[\hat{\beta}_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{3057.5}{1512.5} \approx 2.021\]

Ordenada en el origen: \[\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1\bar{x} = 186.25 - 2.021 \times 102.5 \approx -22.41\]

Modelo estimado: \[\hat{Y} = -22.41 + 2.021 X\]

b) Interpretación de coeficientes: - \(\hat{\beta}_0 = -22.41\): Es el precio teórico para X = 0 (sin interpretación práctica, pues no hay viviendas de 0 m²) - \(\hat{\beta}_1 = 2.021\): Por cada m² adicional, el precio aumenta aproximadamente 2.021 mil euros, o sea, 2021 € por m²

c) Coeficiente de determinación R²:

\[r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \times S_{yy}}} = \frac{3057.5}{\sqrt{1512.5 \times 6337.5}} \approx 0.9815\]

\[R^2 = r^2 \approx 0.963\]

Interpretación: El 96.3% de la variabilidad en los precios se explica por el tamaño de la vivienda. El ajuste es excelente.

d) Predicción para X = 105 m²:

\[\hat{Y}(105) = -22.41 + 2.021 \times 105 = -22.41 + 212.205 \approx 189.80 \text{ k€}\]

Precio predicho: aproximadamente 189,800 € para una vivienda de 105 m².

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E.6 Parte V: Análisis de Datos Categóricos (25 puntos)

E.6.1 Pregunta 5.1 (12 puntos)

En un estudio sobre la asociación entre consumo de tabaco y enfermedad cardiovascular se obtiene la siguiente tabla:

	Enfermedad cardiovascular	Sin enfermedad	Total
Fumador	55	95	150
No fumador	25	125	150

1. Calcule las frecuencias esperadas bajo \(H_0\) de independencia.
2. Calcule el estadístico \(\chi^2\) e identifique la distribución de referencia.
3. Con \(\alpha = 0.05\) (\(\chi^2_{0.05,1} = 3.84\)), ¿existe asociación estadísticamente significativa?
4. ¿Se cumplen las condiciones de aplicación del test Chi-cuadrado?

a) Frecuencias esperadas:

Marginales: fila 1 = 150, fila 2 = 150, columna 1 = 80, columna 2 = 220, \(n\) = 300.

\[E_{11} = \frac{150 \times 80}{300} = 40, \quad E_{12} = \frac{150 \times 220}{300} = 110\] \[E_{21} = \frac{150 \times 80}{300} = 40, \quad E_{22} = \frac{150 \times 220}{300} = 110\]

b) Estadístico χ²:

\[\chi^2 = \frac{(55-40)^2}{40} + \frac{(95-110)^2}{110} + \frac{(25-40)^2}{40} + \frac{(125-110)^2}{110}\]

\[= \frac{225}{40} + \frac{225}{110} + \frac{225}{40} + \frac{225}{110} = 5.625 + 2.045 + 5.625 + 2.045 = 15.34\]

Distribución de referencia: \(\chi^2_{(2-1)(2-1)} = \chi^2_1\).

c) Decisión:

\(\chi^2 = 15.34 > 3.84 = \chi^2_{0.05,1}\), \(p < 0.001\). Rechazamos \(H_0\): existe asociación estadísticamente significativa entre tabaquismo y enfermedad cardiovascular.

d) Condiciones: Mínima frecuencia esperada = 40 > 5. ✓ Condición cumplida.

E.6.2 Pregunta 5.2 (13 puntos)

Un estudio caso-control investiga la asociación entre obesidad (IMC ≥ 30) e infarto de miocardio. Se reclutan 100 casos (infarto) y 100 controles. De los casos, 60 son obesos; de los controles, 30 son obesos.

1. Construya la tabla 2×2 con la notación estándar \((a, b, c, d)\).
2. Calcule el Odds Ratio (OR).
3. Calcule el intervalo de confianza del 95% para el OR.
4. Interprete el resultado en contexto clínico. ¿Sería correcto calcular el Riesgo Relativo (RR) en este diseño? Justifique.

a) Tabla 2×2:

	Caso (infarto)	Control	Total
Obeso	60	30	90
No obeso	40	70	110
Total	100	100	200

\(a=60\), \(b=30\), \(c=40\), \(d=70\).

b) Odds Ratio:

\[\widehat{OR} = \frac{ad}{bc} = \frac{60 \times 70}{30 \times 40} = \frac{4200}{1200} = 3.50\]

c) Intervalo de confianza del 95%:

\[SE_{\ln OR} = \sqrt{\frac{1}{60} + \frac{1}{30} + \frac{1}{40} + \frac{1}{70}} = \sqrt{0.0167 + 0.0333 + 0.0250 + 0.0143} = \sqrt{0.0893} = 0.299\]

\[IC_{95\%} = \exp(\ln 3.50 \pm 1.96 \times 0.299) = \exp(1.253 \pm 0.586) = [e^{0.667},\, e^{1.839}] = [1.95,\, 6.29]\]

d) Interpretación: Las personas obesas tienen 3.5 veces más odds de infarto de miocardio que las no obesas (\(OR = 3.50\); \(IC_{95\%}\): 1.95–6.29). El intervalo no contiene el 1, confirmando asociación estadísticamente significativa.

RR en caso-control: No es correcto calcular el RR porque en un estudio caso-control el número de casos y controles es fijado por el investigador (100 y 100 respectivamente), y no refleja la prevalencia o incidencia real de infarto en la población. Los totales de fila no son proporcionales a los totales poblacionales, por lo que las “proporciones” calculadas como \(a/(a+c)\) no son estimaciones válidas del riesgo. La única medida estimable de forma válida en este diseño es el OR.

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E.7 Instrucciones Finales

• Revise sus respuestas antes de entregar
• Indique claramente los pasos de sus cálculos
• Si usa software o calculadora, muestre los resultados intermedios
• La precisión y claridad contribuyen a la calificación

Fin del examen