Este apéndice proporciona los fundamentos matemáticos necesarios para un análisis riguroso de la probabilidad y la estadística. Este contenido está estructurado como una guía de referencia basada en principios de bioestadística.
Las funciones mapean elementos de un dominio a un codominio (\(f: X \to Y\)).
Ejemplos de funciones comunes: * Lineal: \(f(x) = mx + b\) * Cuadrática: \(f(x) = ax^2 + bx + c\) * Exponencial: \(f(x) = a^x\) * Logarítmica: \(f(x) = \log_b(x)\)
Ejemplo en R: Definición y uso de funciones
# Definir una función lineal
f_lineal <- function(x) {
2*x + 3
}
f_lineal(5) # Resultado: 13[1] 13# Graficar una función
curve(f_lineal, from = -5, to = 5,
main = "Función Lineal f(x) = 2x + 3",
xlab = "x", ylab = "f(x)")
Fundamentales para modelizar relaciones de crecimiento/decrecimiento y simplificar funciones de verosimilitud en estadística.
exp(x) calcula \(e^x\).log(x) calcula \(\ln(x)\) por defecto; log10(x) para base 10, log(x, base=b) para otras bases.Ejemplo en R: Cálculos con exponenciales y logaritmos
# Cálculos exponenciales
exp(1) # e^1[1] 2.718282exp(2) # e^2[1] 7.389056# Cálculos logarítmicos
log(exp(1)) # ln(e) = 1[1] 1log(100) # ln(100)[1] 4.60517log(100, base = 10) # log10(100) = 2[1] 2# Propiedad: log(x^k) = k * log(x)
x_val <- 5
k_val <- 3
log(x_val^k_val) == k_val * log(x_val)[1] FALSELa notación \(\sum\) representa sumas y \(\prod\) representa productos. Son esenciales para definir medias, varianzas y funciones de verosimilitud.
Notación de Sumatoria: \(\sum_{i=1}^n x_i = x_1 + x_2 + \cdots + x_n\)
Propiedades de la Suma:
Sumas dobles: \(\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n x_{ij}\) para sumar elementos en una tabla o matriz.
Notación de Producto: \(\prod_{i=1}^n x_i = x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n\)
Ejemplo en R: Sumas y Productos
# Vector de datos
datos <- c(2, 4, 6, 8, 10)
# Suma de los datos
sum(datos)[1] 30# Media muestral usando sumatoria
n_datos <- length(datos)
media <- sum(datos) / n_datos
cat("Media muestral:", media, "\n")Media muestral: 6 # Producto de los datos
prod(datos)[1] 3840# Suma doble (ej. suma de una matriz)
matriz_ej <- matrix(1:4, nrow=2)
print(matriz_ej) [,1] [,2]
[1,] 1 3
[2,] 2 4sum(matriz_ej) # Suma todos los elementos[1] 10La teoría de conjuntos es el lenguaje fundamental para describir eventos en probabilidad.
{} (contiene cero elementos).Ejemplo en R: Operaciones con conjuntos (usando vectores lógicos)
# Representación de conjuntos como vectores lógicos o numéricos
universo <- 1:10
conjuntoA <- c(1, 2, 3, 4, 5)
conjuntoB <- c(4, 5, 6, 7)
# Unión
union(conjuntoA, conjuntoB)[1] 1 2 3 4 5 6 7# Intersección
intersect(conjuntoA, conjuntoB)[1] 4 5# Diferencia (elementos en A que no están en B)
setdiff(conjuntoA, conjuntoB)[1] 1 2 3# Complemento (respecto a 'universo')
setdiff(universo, conjuntoA)[1] 6 7 8 9 10# Comprobación de disjunción (no disjuntos en este caso)
length(intersect(conjuntoA, conjuntoB)) == 0[1] FALSEHerramientas fundamentales para la optimización (minimización de funciones de pérdida, maximización de verosimilitud) usando derivadas y para el cálculo de probabilidades e inferencia usando integrales.
Miden la tasa de cambio instantánea de una función. En estadística, se usan para encontrar máximos y mínimos de funciones (como funciones de verosimilitud o de costo).
Ejemplo: Minimización de una función (encontrar el vértice de una parábola) Sea \(f(x) = x^2 - 4x + 5\). Para encontrar el mínimo, derivamos e igualamos a cero: \(f'(x) = 2x - 4\) \(2x - 4 = 0 \implies x = 2\). Sustituyendo en \(f(x)\): \(f(2) = 2^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1\). El mínimo es en \((2, 1)\).
Ejemplo en R: Derivación simbólica (para funciones simples)
# Definir una expresión simbólica
expr <- expression(x^2 - 4*x + 5)
derivada <- D(expr, "x")
print(derivada)2 * x - 4# Evaluar la derivada en un punto
eval(derivada, list(x = 2)) # Debería ser 0[1] 0Representan el área bajo una curva y se utilizan para calcular probabilidades a partir de funciones de densidad, esperanzas y varianzas.
Ejemplo: Cálculo de una probabilidad a partir de una PDF Si \(f(x)\) es la PDF, \(P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x) dx\).
Ejemplo en R: Integración numérica
# Calcular la probabilidad P(-1 <= X <= 1) para una Normal Estándar
# Usamos la función dnorm (densidad de la normal)
resultado_integral <- integrate(dnorm, lower = -1, upper = 1)
print(resultado_integral$value) # Aproximadamente 0.6827 (regla del 68%)[1] 0.6826895# Para la esperanza de una variable continua con PDF f(x): E(X) = integral(x * f(x) dx)
# Ejemplo con una función simple x * exp(-x) de 0 a Inf
f_ejemplo_esperanza <- function(x) { x * dexp(x, rate = 1) } # E(X) para Exp(1) es 1/rate = 1
esperanza_numerica <- integrate(f_ejemplo_esperanza, lower = 0, upper = Inf)
print(esperanza_numerica$value) # Debería ser cercano a 1[1] 1El álgebra matricial es indispensable en estadística multivariante, regresión lineal (donde los coeficientes se estiman usando inversas matriciales), análisis de componentes principales, y más.
Ejemplo en R: Operaciones con matrices
# Definir matrices
A <- matrix(c(1, 2, 3, 4), nrow=2, byrow=TRUE) # Matriz 2x2
B <- matrix(c(5, 6, 7, 8), nrow=2, byrow=TRUE) # Matriz 2x2
C <- matrix(c(1, 0, 0, 1), nrow=2, byrow=TRUE) # Matriz identidad I
print("Matriz A:")[1] "Matriz A:"print(A) [,1] [,2]
[1,] 1 2
[2,] 3 4print("Matriz B:")[1] "Matriz B:"print(B) [,1] [,2]
[1,] 5 6
[2,] 7 8# Suma de matrices
print("A + B:")[1] "A + B:"print(A + B) [,1] [,2]
[1,] 6 8
[2,] 10 12# Producto matricial
print("A %*% B:")[1] "A %*% B:"print(A %*% B) [,1] [,2]
[1,] 19 22
[2,] 43 50# Transpuesta de A
print("Transpuesta de A (A^T):")[1] "Transpuesta de A (A^T):"print(t(A)) [,1] [,2]
[1,] 1 3
[2,] 2 4# Inversa de A
# Solo si la matriz es cuadrada y no singular (determinante != 0)
print("Inversa de A:")[1] "Inversa de A:"print(solve(A)) [,1] [,2]
[1,] -2.0 1.0
[2,] 1.5 -0.5# Verificar A * A_inv = I
print("A %*% solve(A):")[1] "A %*% solve(A):"print(A %*% solve(A)) # Debería ser la matriz identidad [,1] [,2]
[1,] 1 1.110223e-16
[2,] 0 1.000000e+00# Determinante de A
print("Determinante de A:")[1] "Determinante de A:"print(det(A)) # (1*4 - 2*3) = 4 - 6 = -2[1] -2